Axiomas naturales para las matemáticas y el problema del continuo

La teoría de conjuntos, formalizada en la llamada teoría ZFC, proporciona una base sólida al edificio de las matemáticas. Esto significa que, a partir de una pequeña colección de enunciados que se dan como ciertos —los axiomas de ZFC—, es posible deducir la mayoría de los teoremas que dan forma a las matemáticas modernas. Sin embargo, hay cuestiones fundamentales, relacionadas con conjuntos infinitos, que esta teoría no resuelve.

Una de estas cuestiones es el problema del continuo, que pregunta “¿exactamente cuántos números reales existen?”. Sabemos que hay diferentes tamaños de infinito, partiendo del más pequeño, alef_0 (que corresponde al tamaño de los números naturales), cada uno mayor que el anterior: alef_1, alef_2… Pero, ¿cuál de estos valores es el tamaño del conjunto de los números reales? Pues bien, sabemos que si la teoría ZFC es consistente (es decir, si no es posible demostrar ninguna contradicción trabajando en ZFC), entonces también lo es ZFC junto con la afirmación “Hay exactamente alef_1 reales”, la teoría ZFC junto con “Hay exactamente alef_2″ reales, y lo mismo para muchos otros alefs. Así pues, dado que todas estas respuestas al problema del continuo son consistentes, ¿podría ser que esta pregunta no tenga respuesta?

La dificultad con este punto de vista es que el problema del continuo es una pregunta, acerca de un cierto objecto bien determinado —el universo de los conjuntos—, que tiene perfecto sentido y, por tanto, debería tener una única respuesta. El hecho de que ZFC—que proporciona una descripción parcial del universo conjuntístico— no dé la respuesta solo significa que debemos encontrar otros axiomas naturales que sí lo hagan. Ahora bien, ¿qué significa que un axioma sea natural?

Para empezar, idealmente un axioma debería ser cierto y, además, útil, es decir, debería permitir demostrar cosas interesantes que no se podrían probar en su ausencia. Sin embargo, no es fácil encontrar hechos obviamente ciertos acerca de los conjuntos, por lo que para buscar nuevos axiomas generalmente nos concentramos en su utilidad, entendida ésta en sentido muy amplio. Normalmente es necesario usar más de un axioma para demostrar algo interesante, por lo que, de hecho, buscamos conjuntos de axiomas —es decir, teorías— útiles. Es en este contexto que hablamos de axiomas, o teorías, naturales.

La utilidad de una teoría depende de los objetivos que queremos que satisfaga

La utilidad de una teoría depende de los objetivos que queremos que satisfaga. Por poner un ejemplo, podemos querer que nuestra teoría ofrezca una descripción lo más completa posible de un cierto fragmento del universo conjuntístico, es decir, que dé tantas respuestas como sea posible acerca de esa región.

En teoría de conjuntos, el método de forcing presenta el principal obstáculo para conseguir esto, ya que usando esta técnica —que amplía el universo matemático en el que nos movemos— podemos demostrar que la teoría ZFC (o una extensión suya) no permite decidir la verdad de ciertos enunciados. Así pues, si queremos lograr una descripción lo más completa posible de una cierta región del universo conjuntístico, tenderemos a buscar axiomas que neutralicen los efectos del método de forcing.

Otro ejemplo de criterio de naturalidad es la compatibilidad con una cierta colección de enunciados, todos ellos no demostrables en ZFC, llamados axiomas de cardinales grandes.

Un tercer criterio de naturalidad es el de maximalidad respecto a extensiones de forcing. Esta idea se traduce, básicamente, en que cualquier enunciado, con una forma razonable, que se satisfaga en alguna extensión de forcing del universo es de hecho verdad en el universo mismo.

Se han propuesto varios axiomas para extender la teoría ZFC, entre ellos, el axioma (*), introducido por Hugh Woodin en los años 1990. Éste axioma satisface propiedades de completitud y maximalidad respecto al forcing, lo que lo hace muy atractivo. Además, (*) implica que el tamaño de los números reales es alef_2, es decir, que hay otro tipo de infinito (alef_1) entre el de los números naturales y los números reales. Sin embargo, para considerar a (*) como un axioma realmente natural, debería ser compatible con todos los axiomas consistentes de cardinales grandes.

Otro axioma propuesto es el Martin’s Maximum^{++}, introducido en los años 1980 por Matthew Foreman, Menachem Magidor y Saharon Shelah. Éste también es un axioma de maximalidad y, además, es compatible con todos los axiomas consistentes de cardinales grandes.

En 2018, Ralf Schindler y el autor de este artículo demostramos que el axioma Martin’s Maximum^{++} implica (*). Esto significa, en particular, que (*) es compatible con todos los axiomas consistentes de cardinales grandes. Por lo tanto, podemos afirmar que (*) es un axioma verdaderamente natural y, en consecuencia, proporciona evidencia de que la respuesta correcta al problema del continuo es alef_2.

Por otro lado, Woodin está trabajando en un proyecto que, en caso de tener éxito, podría cuestionar la consideración de la noción de maximalidad respecto a forcing como criterio de naturalidad. El argumento en favor de (*) quedaría entonces en entredicho. De hecho, si su proyecto tiene éxito, sugeriría que la respuesta correcta al problema del continuo es alef_1. En cualquier caso, el problema del continuo es una pregunta tanto matemática como filosófica que todavía no ha sido contestada de manera concluyente y cuya respuesta seguirá produciendo matemáticas interesantes.

David Asperó es associate professor en la Universidad de East Anglia (Reino Unido).

Edición y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

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